MatLabG · Experiência
Fatorar para resolver equações do 2º grau
Um produto é zero quando algum fator é zero — e só nesse caso.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Como a fatoração transforma uma equação do 2º grau num produto igual a zero, por que isso permite encontrar todas as raízes, e quando a fatoração com coeficientes inteiros não serve?
Execução restrita
Escolha uma equação do 2º grau (com fator comum, trinômio quadrado perfeito, diferença de quadrados ou soma e produto) ou monte a sua a partir de a·(x − r)(x − s). A prancheta mostra a forma fatorada, confere a fatoração por expansão, aplica a lei do anulamento do produto e verifica cada raiz por substituição exata; o gráfico de y = p(x) marca as raízes. Inclui raiz dupla, raiz nula, raízes fracionárias e negativas, um produto igual a 6 (onde o anulamento não se aplica), uma equação sem raiz real e outra com raízes irracionais.
A execução integral é aberta a quem tem acesso concedido pela Administração do Portal. Entre com sua conta ou veja como participar na página Acesso.
Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
-
Geometria: área e medidas
Lados de um retângulo de área conhecida
Um retângulo tem um lado d unidades maior que o outro e área A. O lado menor x satisfaz x(x + d) = A, uma equação do 2º grau. A aplicação fatora quando as raízes são racionais, descarta a raiz negativa (não é medida) e, quando as raízes são irracionais, dá a raiz exata com radical e a aproximação marcada com ≈.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um retângulo tem um lado d unidades maior que o outro e área A. Quanto mede o lado menor?
Modelo: Lado menor x > 0, lado maior x + d: x(x + d) = A, isto é, x² + dx − A = 0. Raízes x = (−d ± √(d² + 4A))/2; só a positiva é medida.
- Equação: x(x + 3) = 40, isto é, x² + 3x − 40 = 0.
- Discriminante: d² + 4A = 3² + 4·40 = 169.
- Procurando dois números de produto −40 e soma −3: 5 e −8. Fatoração: x² + 3x − 40 = (x − 5)(x + 8).
- Anulamento do produto: x − 5 = 0 ou x + 8 = 0, logo x = 5 ou x = −8.
- Verificação: 5·(5 + 3) = 5·8 = 40.
Resultado: O lado menor mede 5 m e o maior, 8 m. A raiz x = −8 é descartada: medida não é negativa.
Leitura crítica: A equação tem duas raízes; o contexto (medida positiva) escolhe uma. A fatoração com inteiros só foi possível porque o discriminante é um quadrado perfeito.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.