Padrões com palitos: quantos palitos para uma figura grande?

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Construção (modelo hipotético)

  Cerca em módulos: mourões e travessas

  Uma cerca feita de vãos iguais repete a lógica da fileira de quadrados: cada vão novo aproveita o mourão do vão anterior. Com n vãos, são n + 1 mourões e, com k travessas por vão, k·n travessas. A aplicação calcula o material para um número de vãos e, ao contrário, quantos vãos se fazem com os mourões disponíveis.

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): uma cerca é feita de vãos iguais; cada vão fica entre dois mourões e leva 3 travessas. Vãos vizinhos compartilham o mourão. Quantos mourões e travessas são necessários para 12 vãos? Com 30 mourões, quantos vãos se fazem?

  Modelo: Mourões M(n) = n + 1 (o primeiro vão usa 2 mourões; cada vão novo, mais 1); travessas T(n) = k·n. Ao contrário: com M mourões, n = M − 1 vãos.

  Dados — altere para recalcular

  Número de vãos n Travessas por vão k Mourões disponíveis Restaurar os dados

  1. Mourões: o 1º vão usa 2; cada um dos outros 11 vãos acrescenta 1: 2 + 11 = 13 = 12 + 1.
  2. Travessas: 3 por vão: 3·12 = 36.
  3. Total de peças: 13 + 36 = 49 = 4·12 + 1.
  4. Ao contrário: com 30 mourões, n + 1 = 30 ⇒ n = 29 vãos (e 87 travessas).

  Resultado: No modelo: 12 vãos pedem 13 mourões e 36 travessas; com 30 mourões fazem-se 29 vãos.

  Leitura crítica: Modelo hipotético. O erro comum é contar 2 mourões por vão (2·n), esquecendo que vãos vizinhos compartilham o mourão — o mesmo erro de contar 4 palitos por quadradinho. A fórmula vale para todo n porque cada vão novo acrescenta sempre 1 mourão e k travessas; obras reais têm portões, cantos e perdas.

• Arquitetura (modelo hipotético)

  Malha de um piso: as linhas crescem mais depressa que a fileira

  As linhas que separam as placas de um piso retangular formam uma grade: com m placas num sentido e n no outro, há m(n + 1) + n(m + 1) lados de placa. No piso quadrado, 2n(n + 1) — a fórmula da grade. A aplicação calcula o comprimento total das linhas e mostra que ele não cresce de forma constante quando o piso aumenta.

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): um piso retangular tem 6 placas quadradas num sentido e 4 no outro, cada uma com 0,5 m de lado. Qual é o comprimento total das linhas da malha (contando o contorno)? E se o piso fosse quadrado, com n placas por lado?

  Modelo: Com m placas num sentido e n no outro: n + 1 linhas de m lados de placa e m + 1 linhas de n lados: m(n + 1) + n(m + 1) lados. Comprimento = lados × medida do lado. Piso quadrado (m = n): 2n(n + 1), a fórmula da grade.

  Dados — altere para recalcular

  Placas num sentido m Placas no outro sentido n Lado da placa (m) Restaurar os dados

  1. Linhas num sentido: 4 + 1 = 5 linhas de 6 lados: 30.
  2. Linhas no outro: 6 + 1 = 7 linhas de 4 lados: 28.
  3. Total: 58 lados de placa; comprimento = 58·0,5 = 29 m.
  4. Piso quadrado com 4 placas por lado: 2·4·5 = 40 lados; com 5: 60; com 6: 84 — variações 20 e 24, não constantes.

  Resultado: No modelo: 58 lados de placa, 29 m de linhas.

  Leitura crítica: Modelo hipotético. Contar 4 lados por placa (4·m·n) conta duas vezes cada lado interno. No piso quadrado, a quantidade de linhas cresce cada vez mais depressa (as variações aumentam 4 a cada placa a mais por lado): não é do tipo a·n + b, como na grade de palitos. Pisos reais têm juntas de largura própria, recortes e perdas.