MatLabG · Experiência
Expoente fracionário: raiz, potência e domínio
Por que a^(m/n) é ⁿ√(aᵐ) — e por que a base precisa ser positiva.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Que valor dar a a^(m/n) para que as propriedades das potências continuem valendo, e para quais bases essa definição não depende da fração escolhida para o expoente?
Execução restrita
Escolha a base e o expoente m/n (frações não necessariamente irredutíveis). Para a > 0, a prancheta compara as leituras ⁿ√(aᵐ) e (ⁿ√a)ᵐ, dá o valor exato quando a raiz é exata e, quando não é, a forma radical simplificada (como 2^(3/2) = 2√2) e uma aproximação declarada com “≈”; o ponto x = m/n aparece no gráfico de y = aˣ. Frações equivalentes do expoente dão a mesma potência. Com base negativa e expoente não inteiro, duas escritas do mesmo expoente levariam a valores diferentes — por isso a potência não é definida; com base 0, só expoentes positivos.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Geometria: volume e área
Do volume de um cubo à área das faces
Um cubo de volume V tem aresta V^(1/3) e cada face tem área V^(2/3). A aplicação calcula as medidas exatas (inteiras quando V é cubo perfeito, em forma radical nos outros casos) e as aproximações declaradas.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um cubo tem volume V (em cm³). Quanto mede a aresta e qual é a área de uma face e a área total?
Modelo: V = ℓ³, logo ℓ = V^(1/3) = ∛V; a área de uma face é ℓ² = V^(2/3) = ∛(V²); a área total é 6·V^(2/3). V > 0.
- Aresta: ℓ = 27^(1/3) = ∛27 = 3 cm, porque 3³ = 27.
- Face: ℓ² = 27^(2/3) = ∛729 = 9 cm².
- Área total: 6·9 = 54 cm².
Resultado: A aresta mede 3 cm, cada face tem 9 cm² e a área total é 54 cm².
Leitura crítica: 27 é um cubo perfeito, e o expoente 2/3 dá um inteiro. Dobrar a aresta multiplica a área por 2² = 4 e o volume por 2³ = 8.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.