MatLabG · Experiência
Produtos notáveis: áreas, identidades e um erro medido
Por que (a + b)² não é a² + b² — e quanto falta.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Por que (a + b)², (a − b)² e (a + b)(a − b) têm os desenvolvimentos a² + 2ab + b², a² − 2ab + b² e a² − b², para quaisquer números a e b, e o que a figura de áreas mostra (e não mostra) disso?
Execução restrita
Escolha (a + b)², (a − b)² ou (a + b)(a − b) e os valores de a e b, inclusive nulos, negativos e frações. Quando a e b são medidas positivas, um quadrado ou retângulo é decomposto em peças rotuladas com as áreas exatas; sempre, o cálculo direto e o desenvolvimento são comparados em frações. O erro (a + b)² = a² + b² é medido pela diferença 2ab, que só se anula quando a = 0 ou b = 0.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Geometria de projeto
Área de uma moldura quadrada
A área de uma moldura (ou de uma calçada em volta de um canteiro quadrado) é a diferença entre as áreas de dois quadrados, L² − ℓ², que se fatora como (L + ℓ)(L − ℓ). A aplicação calcula a área pelos dois caminhos e confere que dão o mesmo resultado.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Uma moldura quadrada tem lado externo L e abertura quadrada de lado ℓ, com os lados paralelos. Qual é a área da moldura?
Modelo: Área = L² − ℓ² = (L + ℓ)(L − ℓ) (diferença de quadrados), com L > ℓ > 0.
- Pelas áreas: L² − ℓ² = 25² − 15² = 625 − 225 = 400.
- Pela fatoração: (L + ℓ)(L − ℓ) = (25 + 15)·(25 − 15) = 40·10 = 400.
- Os dois caminhos dão o mesmo número, como garante a identidade (a + b)(a − b) = a² − b².
Resultado: A moldura tem 400 cm² de área.
Leitura crítica: O erro (L − ℓ)² daria 100 cm², que é a área de um quadrado de lado 10 cm, não a da moldura. A fatoração mostra que a moldura tem a mesma área que um retângulo de 40 cm por 10 cm, o que facilita o cálculo mental.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.