MatLabG · Experiência
Reta pela origem, hipérbole ou outra coisa? Reconhecer pelo gráfico
Seis gráficos misteriosos e as famílias y = ax, y = a/x e y = ax + b: decidir pela forma, testar o quociente e o produto em pontos do gráfico e desconfiar da janela.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Que características do gráfico permitem reconhecer uma proporcionalidade direta ou inversa — e quais características enganam?
Execução restrita
Seis gráficos sem expressão: uma reta pela origem, uma hipérbole, uma reta que desce, uma reta que sobe sem passar pela origem, uma curva que desce cada vez mais devagar dentro da janela e uma curva que sai da origem. Decida a natureza de cada um e a pista decisiva; depois marque três pontos, calcule y ÷ x e x · y neles e revele a expressão. O gráfico E merece atenção: dentro da janela, ele desce cada vez mais devagar e não toca os eixos. Isso basta para ser hipérbole? No modo livre, explore as famílias y = ax, y = a/x e y = ax + b.
A execução integral é aberta a quem tem acesso concedido pela Administração do Portal. Entre com sua conta ou veja como participar na página Acesso.
Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
-
Física
Lei de Boyle: pressão e volume de um gás
Para uma quantidade fixa de gás a temperatura constante, o produto pressão × volume é aproximadamente constante (lei de Boyle, uma idealização válida para gases a baixa pressão): o gráfico pressão × volume é um ramo de hipérbole. A aplicação calcula a nova pressão quando o volume muda.
Como usar: aplicação resolvida
Um cilindro com êmbolo contém 6 L de ar a 100 kPa. Empurrando o êmbolo devagar, à temperatura constante, o volume passa a 4 L. Qual é a nova pressão?
Modelo: Lei de Boyle (gás ideal, quantidade e temperatura constantes): P·V = constante, isto é, P₁·V₁ = P₂·V₂. Pressão e volume são inversamente proporcionais; o gráfico P × V é um ramo de hipérbole.
- Constante: P₁·V₁ = 100 · 6 = 600 kPa·L.
- P₂ = 600 ÷ 4 = 150 kPa.
- Conferência: (600 ÷ 4) · 4 = 600 kPa·L. O volume ficou multiplicado por 4/6 ≈ 0,667; a pressão, por 6/4 = 1,5.
Resultado: Nova pressão: 150 kPa.
Leitura crítica: A lei de Boyle é uma idealização: vale bem para gases a pressões moderadas e temperatura constante (compressões lentas). Como P·V = k ≠ 0, o gráfico nunca toca os eixos: nem pressão nem volume chegam a zero.
-
Economia doméstica (modelo hipotético)
Duas tarifas: reta pela origem e reta com bandeirada
Uma tarifa só por quilômetro tem gráfico numa reta pela origem; uma tarifa com bandeirada tem gráfico numa reta que corta o eixo y na bandeirada. A aplicação calcula a distância em que as duas tarifas custam o mesmo e qual é mais barata antes e depois.
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): o aplicativo A cobra R$ 3 por km, sem bandeirada; o B cobra R$ 5 de bandeirada mais R$ 2 por km. A partir de que distância o B fica mais barato?
Modelo: A: preço = k·d (reta pela origem, proporcional). B: preço = b + m·d (reta que corta o eixo y em b, não proporcional). Custam o mesmo quando k·d = b + m·d, isto é, d = b ÷ (k − m), se k > m.
- Igualdade: 3·d = 5 + 2·d ⇒ (3 − 2)·d = 5.
- d = 5 ÷ 1 = 5 km; nesse ponto, as duas custam = 15 reais.
- Teste: em 10 km, A custa 30 e B custa 25.
Resultado: No modelo: até 5 km, A é mais barato; depois, B.
Leitura crítica: Modelo hipotético. O gráfico de A é uma reta pela origem (preço proporcional à distância); o de B é uma reta que corta o eixo y na bandeirada — também cresce, mas não é proporcional. As duas retas se cruzam no ponto de troca.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.