Princípio multiplicativo: a tabela que conta por nós

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Segurança digital

  Senhas: quantas existem e qual a chance de um chute

  Cada posição de uma senha multiplica o total de possibilidades. A aplicação calcula o total de senhas de k algarismos e a probabilidade de acertar com t tentativas diferentes.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma senha tem 4 algarismos (de 0 a 9, podendo repetir). Quantas senhas existem? Quem não sabe a senha e faz 3 tentativas diferentes, qual é a probabilidade de acertar?

  Modelo: Princípio multiplicativo: k posições com 10 algarismos cada dão 10 · 10 · … · 10 = 10^k senhas. Supondo a senha escolhida ao acaso entre todas, t tentativas diferentes acertam com probabilidade t ÷ 10^k.

  Dados — altere para recalcular

  Algarismos da senha Tentativas diferentes Restaurar os dados

  1. Total: 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 senhas.
  2. 3 tentativa(s) diferente(s) cobrem 3 das 10 000 senhas igualmente prováveis.
  3. P(acertar) = 3/10 000 = 3/10 000 = 0,0003 = 0,03%.

  Resultado: 10 000 senhas; probabilidade de acertar em 3 tentativa(s): 3/10 000 = 0,0003.

  Leitura crítica: Cada algarismo a mais multiplica o total por 10. O modelo supõe senha escolhida ao acaso; senhas “fáceis” (datas, 1234) são mais prováveis na prática, e a conta deixa de valer.

• Produção (modelo hipotético)

  Inspeções em sequência: aprovação em todas e em pelo menos uma

  Com etapas que não interferem entre si, a fração aprovada em todas é o produto das frações; a aprovada em pelo menos uma sai pelo complementar. A aplicação calcula as duas por contagem.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): numa linha de montagem, uma peça passa por 3 inspeções independentes, e cada inspeção aprova 19 de cada 20 peças. Que fração das peças é aprovada nas três? E em pelo menos uma?

  Modelo: Princípio multiplicativo: c inspeções com b resultados igualmente prováveis cada, a deles de aprovação, dão b^c sequências, das quais a^c aprovam em todas e (b − a)^c reprovam em todas. P(todas) = a^c ÷ b^c; P(pelo menos uma) = 1 − (b − a)^c ÷ b^c.

  Dados — altere para recalcular

  Inspeções Aprovadas em cada b b (peças de referência) Restaurar os dados

  1. Sequências: 20^3 = 8 000; aprovadas em todas: 19^3 = 6 859.
  2. P(aprovada nas 3) = 6 859/8 000 ≈ 0,8574.
  3. Reprovada em todas: 1^3 = 1; P(aprovada em pelo menos uma) = 1 − 1/8 000 = 0,999875.

  Resultado: Aprovadas nas 3 inspeções: ≈ 85,7% das peças.

  Leitura crítica: Modelo hipotético. Com 95% de aprovação em cada etapa (entre 0% e 100%), o produto diminui a cada etapa acrescentada. Supõe-se que uma inspeção não altere as chances da outra; se os defeitos forem detectados de modo correlacionado, o modelo deixa de valer.