MatLabG · Experiência
Uma sequência, várias contagens
Expressões escritas de modos diferentes podem ser a mesma expressão.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Quando duas expressões obtidas por contagens diferentes da mesma sequência de figuras são equivalentes, e como provar isso sem testar todos os valores de n?
Execução restrita
Uma fila de quadrados feitos de palitos pode ser contada de vários modos: 4 + 3(n − 1), 3n + 1, 2n + (n + 1), 4n − (n − 1) — e também de modos errados, como 4n. Escolha duas expressões, compare a tabela de valores e reduza cada uma à forma a·n + b pelas propriedades das operações. Só a redução decide se são equivalentes.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Modelo hipotético de orçamento de cerca
Peças de uma cerca de painéis
Uma cerca hipotética de n painéis em linha usa 2 travessas por painel e n + 1 mourões: a mesma estrutura da fila de quadrados. A aplicação conta as peças por duas expressões, mostra que dão o mesmo resultado para qualquer número de painéis e que a forma reduzida torna o cálculo mais curto.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Modelo hipotético: uma cerca em linha tem n painéis. Cada painel usa 2 travessas horizontais, e há um mourão entre painéis vizinhos e um em cada ponta. Quantas peças (travessas e mourões) são necessárias?
Modelo: Contando por tipo: 2n travessas + (n + 1) mourões. Contando por painel: o primeiro painel usa 4 peças (2 travessas e 2 mourões) e cada um dos outros n − 1 acrescenta 3: 4 + 3(n − 1). As duas expressões reduzem-se a 3n + 1.
- Por tipo: 2·12 + (12 + 1) = 24 + 13 = 37.
- Por painel: 4 + 3·(12 − 1) = 4 + 3·11 = 4 + 33 = 37.
- Pela forma reduzida: 3·12 + 1 = 36 + 1 = 37.
- As três contas dão o mesmo número porque as expressões são equivalentes: 2n + (n + 1) = 3n + 1 (associativa e redução de termos semelhantes) e 4 + 3(n − 1) = 4 + 3n − 3 = 3n + 1 (distributiva).
Resultado: 12 painéis usam 37 peças: 24 travessas e 13 mourões.
Leitura crítica: A equivalência foi provada pelas propriedades; os números só a ilustram. A forma reduzida 3n + 1 pede uma multiplicação e uma adição. O modelo supõe painéis iguais e cerca aberta (não fechada em volta de um terreno, caso em que haveria tantos mourões quanto painéis).
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.