MatLabG · Experiência
Esfera: secções, paralelos e as fatias de Arquimedes
Passos iguais do plano não dão passos iguais no raio — mas fatias de mesma espessura têm a mesma área.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Quando o plano de corte se afasta do centro em passos iguais, como varia o raio da secção — e o que acontece com a área da superfície e com o volume de fatias de mesma espessura em diferentes alturas da esfera?
Execução restrita
Afaste um plano de corte do centro da esfera em passos iguais: o raio da secção diminui em passos iguais? Em que latitude um paralelo da Terra mede metade do equador? Conjecture, teste com as razões medidas na cena e procure contraexemplos — até o plano tangente e além dele. Depois, compare duas fatias de mesma espessura, uma junto ao equador e outra junto ao polo: uma surpresa de Arquimedes espera na área da superfície, e outra no volume.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Geografia e cartografia
Paralelos e meridianos
Os paralelos são secções da Terra por planos perpendiculares ao eixo; o equador é o círculo máximo. Como o raio do paralelo é R · cos φ, um grau de longitude corresponde a distâncias cada vez menores quando se afasta do equador — e a 60° de latitude, à metade do que vale no equador.
Fonte: [4]
Como usar: aplicação resolvida
Qual o comprimento do paralelo e quanto vale 1° de longitude em São Luís (≈ 2,53° S)? E em Porto Alegre (≈ 30,03° S)?
Modelo: Raio do paralelo r = R · cos φ; comprimento 2πr; 1° de longitude = 2πr/360.
- r = 6.371 · cos 2,53° ≈ 6364,8 km.
- Comprimento do paralelo: 2π · ≈ 6364,8 ≈ 39.991 km.
- 1° de longitude: ≈ 39.991 / 360 ≈ 111,1 km.
Resultado: Paralelo de ≈ 39.991 km; 1° de longitude ≈ 111,1 km.
Leitura crítica: Em Porto Alegre (φ = 30,03°), 1° de longitude vale cerca de 96 km; no equador, 111 km. O modelo esférico ignora o achatamento da Terra (diferença menor que 0,5%).
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História da matemática
Arquimedes: esfera e cilindro
Arquimedes demonstrou que a esfera tem dois terços do volume e da área total do cilindro circunscrito, e que sua superfície é igual à superfície lateral desse cilindro. Seu resultado sobre a superfície dos segmentos esféricos implica que, fatia a fatia, cada zona de espessura e tem a área 2πR·e da faixa correspondente do cilindro. Segundo relato antigo, pediu que a figura fosse gravada em seu túmulo.
Como usar: aplicação resolvida
Uma esfera de raio R cabe exatamente num cilindro. Compare volumes e áreas, como fez Arquimedes.
Modelo: Esfera: V = 4πR³/3, A = 4πR²; cilindro circunscrito: V = 2πR³, área total = 6πR².
- Esfera: V ≈ 523,6 cm³; A ≈ 314,16 cm².
- Cilindro: V ≈ 785,4 cm³; A ≈ 471,24 cm².
- Razões: ≈ 0,6667 e ≈ 0,6667.
- Área lateral do cilindro: 2πR · 2R ≈ 314,16 cm², igual à área da esfera.
Resultado: Nos dois casos, a esfera tem 2/3 do cilindro; e a área da esfera é igual à área lateral do cilindro.
Leitura crítica: As razões não dependem de R: é uma propriedade de forma, não de tamanho. Uma bola num tubo justo ocupa 2/3 do espaço interno. A igualdade de áreas vale fatia a fatia: cada zona da esfera de espessura e tem a área 2πR·e da faixa do cilindro entre os mesmos planos — por isso fatias de mesma espessura da esfera têm a mesma área.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica. 7. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- HEATH, T. L. (ed.). The works of Archimedes. Cambridge: Cambridge University Press, 1897.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
- IBGE. Noções básicas de cartografia. Rio de Janeiro: IBGE, 1999. (Manuais técnicos em geociências, n. 8).