Fatiar, aproximar, integrar

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Economia

  Excedente do consumidor

  Numa curva de demanda, cada consumidor disposto a pagar mais que o preço de mercado economiza a diferença. Somando essas diferenças — fatias verticais entre a curva de demanda e a reta do preço —, obtém-se o excedente do consumidor, uma área entre curvas usada para avaliar o efeito de preços e impostos sobre o bem-estar.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  A demanda por um produto é p = a − b·x (reais por unidade; x em milhares de unidades), e o preço de mercado é p₀. Qual é o excedente do consumidor — a economia total de quem pagaria mais que p₀?

  Modelo: Quantidade vendida x₀ = (a − p₀)/b; EC = ∫₀^x₀ (a − b·x − p₀) dx = (a − p₀)·x₀/2 (área do triângulo entre a demanda e a reta p = p₀).

  Dados — altere para recalcular

  Preço máximo a (demanda nula) (R$) Inclinação b (R$ por mil un.) Preço de mercado p₀ (R$) Restaurar os dados

  1. Quantidade vendida: a − b·x₀ = p₀ ⇒ x₀ = (50 − 30) / 0,5 = 40 mil unidades.
  2. Elemento: a faixa vertical em x tem altura (a − b·x) − p₀ e largura dx.
  3. EC = ∫₀^x₀ (a − p₀ − b·x) dx = (a − p₀)·x₀ − b·x₀²/2 = 400.

  Resultado: Excedente do consumidor: 400 mil reais (R$ 400.000).

  Leitura crítica: O excedente cresce com o quadrado de (a − p₀): uma redução de preço beneficia duplamente os consumidores — quem já comprava paga menos, e novos consumidores entram. Curvas de demanda reais não são retas; o elemento é o mesmo, com a integral da curva estimada.

• Engenharia civil

  Força da água sobre uma barragem

  A pressão da água cresce com a profundidade, e a largura da face de uma barragem varia com a altura. A força total é a soma das forças sobre faixas horizontais — ρg·h·w(h)·dh —, e é ela que dimensiona a estrutura. Por isso barragens são mais espessas na base.

  Fontes: [2], [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  A face de montante de uma barragem é um trapézio vertical com largura B no topo, b na base e altura H, e a água chega a uma profundidade d ≤ H medida a partir do topo da água. Qual é a força hidrostática sobre a face?

  Modelo: Largura à profundidade h (com a água no topo da barragem quando d = H): w(h) = B − (B − b)·(h + H − d)/H. Força F = ∫₀^d ρ·g·h·w(h) dh, com ρ = 1000 kg/m³ e g = 9,8 m/s².

  Dados — altere para recalcular

  Largura no topo B (m) Largura na base b (m) Altura da barragem H (m) Profundidade da água d (m) Restaurar os dados

  1. Profundidade da água: d = 20 m.
  2. Largura na superfície da água: w(0) = 50 m; a largura varia k = −1 m por metro de profundidade: w(h) = w(0) + k·h.
  3. Elemento: ρ·g·h·w(h)·dh. F = ρ·g·∫₀^d h·w(h) dh = ρ·g·(w(0)·d²/2 + k·d³/3), com ρ·g = 9.800 N/m³.
  4. F ≈ 71.866.667 N; conferência: área molhada 800 m², profundidade do centroide ≈ 9,17 m, ρ·g·h̄·A ≈ 71.866.667 N.

  Resultado: Força sobre a face: ≈ 71,87 MN (≈ 7.333 toneladas-força).

  Leitura crítica: Numa face de largura constante, dobrar a profundidade multiplica a força por exatamente 4; se a face se alarga para cima (B > b), por mais que 4; se se estreita para cima (B < b), por menos (F(d)/F(d/2) − 4 tem o sinal de B − b). Com estes dados, a força com a água a 20 m é ≈ 4,4 vezes a força com a metade dessa profundidade. Encher a última faixa de uma barragem é o que mais a solicita. O cálculo ignora ondas, subpressão sob a fundação e a inclinação da face, que o projeto real considera.

• Saneamento

  Energia para esvaziar um reservatório

  Bombear a água de um reservatório até a borda exige erguer cada camada uma distância diferente. O trabalho é a soma dos trabalhos das camadas e coincide com o de erguer a massa inteira concentrada no centro de massa — informação que, com a potência da bomba, dá o tempo de esvaziamento.

  Fontes: [4], [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um reservatório cilíndrico vertical de raio R e altura H está cheio até a altura c. Qual é o trabalho para bombear toda a água até a borda superior, e quanto tempo leva uma bomba de potência útil P?

  Modelo: W = ∫₀^c ρ·g·π·R²·(H − y) dy = ρ·g·π·R²·c·(H − c/2) = m·g·Δy do centro de massa; tempo t = W / P.

  Dados — altere para recalcular

  Raio R (m) Altura do reservatório H (m) Altura da água c (m) Potência útil da bomba P (W) Restaurar os dados

  1. Altura da água: c = 3 m.
  2. Camada à altura y: peso ρ·g·π·R²·dy, com ρ·g·π·R² ≈ 30.788 N/m; sobe H − y.
  3. W = ρ·g·π·R²·∫₀^c (H − y) dy = ρ·g·π·R²·c·(H − c/2), com c = 3 m e H − c/2 = 1,5 m: W ≈ 138.544 J.
  4. Conferência: massa m ≈ 9.425 kg, centro de massa a 1,5 m, subida 1,5 m; m·g·Δy ≈ 138.544 J.
  5. Tempo: t = W / P ≈ 185 s, isto é, ≈ 3,1 min.

  Resultado: Trabalho: ≈ 138,5 kJ; tempo com a bomba: cerca de ≈ 3,1 minutos.

  Leitura crítica: O cálculo dá o mínimo teórico: bombas reais perdem energia em atrito e na altura manométrica das tubulações, e a potência útil é menor que a nominal. Num tanque cônico de mesma capacidade com o vértice para baixo, o trabalho seria menor, porque a água já está, em média, mais perto da borda.

• Engenharia mecânica

  Anéis de vedação e o teorema de Pappus

  Um anel de vedação (o-ring) é um toro: um disco de seção que gira em torno do eixo da peça. Pelo teorema de Pappus, seu volume é a área da seção vezes o caminho do centroide, 2πR·πr², o que permite calcular a massa de borracha sem nenhuma integral nova.

  Fontes: [3], [6]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um anel de vedação (o-ring) tem seção circular de diâmetro d e diâmetro interno D. Qual é o volume de borracha e a massa de um lote de N anéis, com densidade δ?

  Modelo: Pappus: V = (área da seção) × (caminho do centroide) = π·(d/2)² · 2π·(D/2 + d/2).

  Dados — altere para recalcular

  Diâmetro da seção d (mm) Diâmetro interno D (mm) Densidade δ (g/cm³) Número de anéis N (un.) Restaurar os dados

  1. Raio da seção r ≈ 1,765 mm; o centroide da seção (seu centro) está a R = D/2 + r ≈ 26,765 mm do eixo.
  2. Área da seção: π·r² ≈ 9,787 mm²; caminho do centroide: 2π·R ≈ 168,17 mm.
  3. V = (π·r²) · (2π·R) ≈ 1645,8 mm³, isto é, ≈ 1,646 cm³.
  4. Massa de um anel: V · δ ≈ 1,975 g; lote: ≈ 1,98 kg.

  Resultado: Cada anel tem ≈ 1,646 cm³ e ≈ 1,98 g; o lote de 1.000 anéis, ≈ 1,98 kg.

  Leitura crítica: O mesmo valor sai por anéis (volume do toro 2π²Rr², seção 4.4), mas Pappus dispensa a integral. O o-ring instalado é comprimido e perde a seção circular; o volume, porém, se conserva, e é por ele que se dimensiona o canal de alojamento.