MatLabG · Experiência
Operadores sucessivos: compor é multiplicar
“a/b de c/d de q” numa malha de quadradinhos: colunas, linhas e a região final — e por que a ordem não importa.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Aplicar “c/d de” e, ao resultado, “a/b de” é o mesmo que aplicar uma única fração? Qual — e com que hipótese sobre q?
Execução restrita
Uma malha de d colunas por b linhas representa a quantidade q (q múltiplo de b·d, como no tema). Aplique o primeiro operador (“c/d de”: c colunas) e, ao resultado, o segundo (“a/b de”: a linhas dessas colunas). A região final tem a·c dos b·d quadradinhos: compor os operadores é multiplicar as frações. Preveja os valores de cada etapa e a fração única antes de revelar; depois inverta a ordem e veja que a região não muda. Na investigação guiada: compor, conferir a ordem, a “sobra” (frações de quantidades diferentes não se somam) e desfazer operadores.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Recursos hídricos (modelo hipotético)
Usos sucessivos da água de um reservatório
Se uma fração da água vai para a irrigação e, do restante, outra fração vai para a limpeza, o que sobra é o produto das frações complementares, não a diferença entre o total e a soma das frações. A aplicação calcula o restante e a fração única.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): um reservatório tem 1 260 L. Usa-se 1/4 da água na irrigação e, do que sobra, 2/9 na limpeza. Quantos litros restam? Que fração única do volume inicial restou?
Modelo: Depois de usar c/d, restam (d − c)/d; depois de usar a/b do resto, restam (b − a)/b disso. Compondo os operadores (tema): restam ((b − a)/b)·((d − c)/d) do volume — produto, não diferença de uma soma.
- Depois do 1º uso restam 3/4: 3/4 de 1260 = 945 L.
- Depois do 2º uso restam 7/9 disso: 735 L.
- Fração única: 7/9 · 3/4 = 7/12; 7/12 de 1260 = 735.
Resultado: Restam 735 L, isto é, 7/12 do volume inicial.
Leitura crítica: Modelo hipotético (sem perdas nem chuva). Somar as frações usadas, 1/4 + 2/9, e subtrair do total daria 665 L: errado, porque a 2ª fração é do que sobrou, não do volume inicial.
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Desenho e reprodução (modelo hipotético)
Reduções sucessivas de uma figura
Reduzir uma figura a uma fração da largura e, depois, a cópia a outra fração equivale a uma única redução pelo produto das frações; a área fica multiplicada pelo quadrado desse produto. A aplicação calcula a largura e a área finais.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Uma figura de 24 cm de largura é reduzida a 4/5 da largura e, depois, a cópia é reduzida a 3/4. Qual é a largura final e por quanto fica multiplicada a área?
Modelo: Redução por um fator k: todas as medidas lineares ficam multiplicadas por k e a área por k². Duas reduções sucessivas equivalem a uma pelo produto dos fatores (composição de operadores, tema).
- Fator único: 3/4 · 4/5 = 3/5.
- Largura final: 3/5 de 24 = 72/5 = 14,4 cm.
- Área: multiplicada por (3/5)² = 9/25 = 0,36.
Resultado: Largura final 14,4 cm; área multiplicada por 9/25.
Leitura crítica: A ordem das reduções não muda o resultado (o produto de frações é comutativo). A área não fica multiplicada por 3/5, e sim por 9/25: com o fator 3/5, a área diminui mais que a largura.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.