MatLabG · Experiência
Mediatriz: régua, compasso e regiões de proximidade
Qual ponto de atendimento está mais perto?
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Por que a reta PQ construída com compasso contém exatamente os pontos equidistantes de A e B?
Execução restrita
Construa a mediatriz passo a passo e teste um ponto X: de que lado ele fica, mais perto de A ou de B? Juntando mediatrizes, obtêm-se as regiões de proximidade (diagramas de Voronoi) usadas em saúde pública, redes de serviços e ciências da natureza.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Saúde pública e planejamento
Regiões de proximidade
Dado um conjunto de locais (postos de saúde, escolas, antenas), cada ponto do plano pode ser associado ao local mais próximo. As fronteiras dessas regiões, chamadas de diagrama de Voronoi, são pedaços de mediatrizes.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Postos de saúde em A(0; 0), B(8; 0) e C(4; 7), em km. Uma família mora em (3; 4). Qual posto é o mais próximo?
Modelo: Distância euclidiana a cada posto; as fronteiras entre regiões são mediatrizes.
- Distância a A: √((3 − 0)² + (4 − 0)²) = 5 km.
- Distância a B: √((3 − 8)² + (4 − 0)²) ≈ 6,403 km.
- Distância a C: √((3 − 4)² + (4 − 7)²) ≈ 3,162 km.
Resultado: Posto mais próximo: C (≈ 3,16 km).
Leitura crítica: Em linha reta. Com ruas, rios e transporte, a 'proximidade' que importa pode ser outra.
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Epidemiologia
John Snow e as bombas d'água
Em 1854, em Londres, John Snow relacionou os casos de cólera com a bomba d'água de Broad Street, mais próxima das casas atingidas. A pergunta que orientou sua análise — qual fonte de água está mais perto de cada casa? — é uma pergunta de regiões de proximidade.
Como usar: aplicação resolvida
Duas bombas d'água estão a 300 m uma da outra. Uma casa fica a 120 m ao longo da rua que as liga e 80 m afastada dela. De qual bomba ela está mais perto, e quanto?
Modelo: Com as bombas em (0; 0) e (d; 0), a fronteira é a mediatriz x = d/2.
- Mediatriz: x = 300 ÷ 2 = 150 m.
- Bomba 1: ≈ 144,2 m; bomba 2: ≈ 197 m.
Resultado: Mais perto da bomba 1, com ≈ 52,8 m de vantagem.
Leitura crítica: A análise de Snow combinou a geografia das casas com o registro das mortes e com informações sobre o abastecimento: a proximidade foi uma evidência, não a prova sozinha.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- OKABE, A. et al. Spatial tessellations: concepts and applications of Voronoi diagrams. 2. ed. Chichester: Wiley, 2000.
- SNOW, J. On the mode of communication of cholera. 2. ed. London: John Churchill, 1855.