MatLabG · Experiência
Paralelas, transversais e a medida da Terra
Os ângulos que Eratóstenes usou para estimar a circunferência do planeta.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
O que acontece com os pares de ângulos quando as retas deixam de ser paralelas? A igualdade dos ângulos garante o paralelismo?
Execução restrita
Gire a transversal e incline a reta s: correspondentes e alternos só são congruentes quando r ∥ s. É a mesma relação que permitiu a Eratóstenes, com raios de Sol paralelos, estimar o tamanho da Terra.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Astronomia e geografia
Eratóstenes e os raios paralelos
No relato clássico, ao meio-dia do solstício o Sol estava a pino em Siene (atual Assuã) e fazia cerca de 7,2° com a vertical em Alexandria. Supondo raios paralelos, esse ângulo é alterno interno ao ângulo central entre as cidades, que corresponde a 1/50 da volta. A atividade 12.12 do Laboratório Virtual G faz a conta completa.
Fonte: [3]
Como usar: aplicação resolvida
Refaça a estimativa de Eratóstenes: em Alexandria os raios fazem 7,2° com a vertical; a distância até Siene é tomada como 800 km.
Modelo: Raios paralelos ⇒ ângulo central = ângulo em Alexandria (alternos internos). Circunferência C = (360°/α) · d; raio R = C/(2π).
- Fração da volta: 7,2° ÷ 360° = 1 ÷ (360 ÷ 7,2), e 360 ÷ 7,2 = 50.
- C = (360 ÷ 7,2) × 800 km = 40.000 km.
- R = C ÷ (2π) ≈ 6.366 km.
Resultado: Circunferência 40.000 km; raio ≈ 6.366 km.
Leitura crítica: O valor moderno é de cerca de 40 000 km. A distância 'didática' de 800 km e o ângulo arredondado tornam o acerto em parte feliz: a precisão real de Eratóstenes é discutida, porque não se sabe o valor exato do estádio que ele usou.
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Epistemologia
O quinto postulado
Euclides tomou como postulado que, se os colaterais internos somam menos de dois retos, as retas se encontram desse lado. Séculos de tentativas de demonstrá-lo levaram, no século XIX, às geometrias não euclidianas, em que ele não vale — e em que esta experiência daria outros resultados.
Como usar: aplicação resolvida
Duas retas cortam uma transversal em pontos a 10 cm um do outro, com colaterais internos de 80° e 95° (soma 175°). A que distância dos pontos elas se encontram?
Modelo: Colaterais internos somando menos de 180° formam, com a transversal, um triângulo de ângulo γ = 180° − (α + β); lei dos senos.
- γ = 180° − 80° − 95° = 5°.
- Do primeiro ponto: d · sen β ÷ sen γ = 10 · sen 95° ÷ sen 5° ≈ 114,3 cm.
- Do segundo ponto: d · sen α ÷ sen γ = 10 · sen 80° ÷ sen 5° ≈ 112,99 cm.
Resultado: As retas se encontram a cerca de 114,3 cm de distância.
Leitura crítica: Uma diferença de 5° em relação a 180° já leva o encontro para longe da figura: por isso retas 'quase paralelas' enganam no desenho.
Referências
- EUCLIDES. Os elementos. Tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora Unesp, 2009.
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.