MatLabG · Experiência
Pirâmides: onde cortar para dividir ao meio?
Metade da altura não é metade da área, nem metade do volume — e a fórmula do trapézio não serve ao tronco.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Onde um plano paralelo à base deve cortar a pirâmide para dividir ao meio a área da secção em relação à base — e para dividir ao meio o volume? A resposta depende da forma da base ou da altura?
Execução restrita
Um plano paralelo à base corta a pirâmide. Onde ele deve passar para que a secção tenha metade da área da base? E para que o volume fique dividido ao meio? Conjecture, teste com as medidas da figura (o polígono de corte e uma soma de tetraedros), troque a base e a altura em busca de contraexemplos e leve o corte ao caso-limite do vértice, onde uma fórmula plausível para o tronco desaba. O volume do tronco já era calculado corretamente num papiro egípcio.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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História da matemática
O tronco no Papiro de Moscou
Um problema do Papiro de Moscou, do Egito do Médio Império, calcula corretamente o volume de um tronco de pirâmide de base quadrada. Não se sabe como a regra foi obtida; ela antecede em muito as demonstrações gregas — e não é a regra do trapézio, que daria um valor maior.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
O problema 14 do Papiro de Moscou pede o volume de um tronco de pirâmide de base quadrada com lado inferior 4, lado superior 2 e altura 6.
Modelo: V = h/3 · (a² + ab + b²).
- a² + ab + b² = 16 + 8 + 4 = 28.
- V = 6/3 × 28 = 56.
- Comparação com a “fórmula do trapézio” da experiência: h · (a² + b²)/2 = 60, que excede o volume em h · (a − b)²/6 = 4.
Resultado: Volume = 56 (com os dados do papiro, 56; a fórmula do trapézio daria 60).
Leitura crítica: Com b = 0 obtém-se a pirâmide inteira (a²h/3); com b = a, o prisma (a²h) — o único caso em que a fórmula do trapézio também acerta. A regra egípcia está certa, embora não se saiba como foi obtida.
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Arquitetura e engenharia
Maquetes e o fator k³
Numa maquete em escala 1 : 100, os comprimentos ficam divididos por 100, as áreas por 10 000 e os volumes por 1 000 000. Um material que ocupa 1 m³ na obra ocupa 1 cm³ na maquete: a semelhança age de modo diferente em cada dimensão.
Fonte: [3]
Como usar: aplicação resolvida
Uma maquete em escala 1 : 100 representa um edifício de 1 200 m³ e 800 m² de fachada. Quanto de material e de pintura a maquete usa?
Modelo: Razão de semelhança k = 1/E: comprimentos × k, áreas × k², volumes × k³.
- Volume: 1200 m³ / 100³ = 0,0012 m³, isto é, 1,2 L.
- Área: 800 m² / 100² = 0,08 m², isto é, 800 cm².
Resultado: Maquete: 1,2 L de volume e 800 cm² de superfície.
Leitura crítica: O fator k³ explica por que ensaios em modelos reduzidos (de vento, de estruturas) exigem cuidado: pesos e áreas não escalam da mesma forma.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica. 7. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
- LIMA, E. L. Medida e forma em geometria: comprimento, área, volume e semelhança. Rio de Janeiro: SBM, 1991.