MatLabG · Experiência
Polígonos regulares e o cerco a π
O método de Arquimedes em movimento.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Ao dobrar o número de lados, quanto o cerco pₙ < π < Pₙ aperta? Qual das duas cotas fica mais perto de π, e quantas casas de π o cerco garante?
Execução restrita
Refaça o cerco de Arquimedes sem usar π: parta do triângulo, do quadrado ou do hexágono e dobre os lados. Investigue quanto o cerco aperta a cada duplicação, qual cota fica mais perto de π e quantas casas decimais ficam de fato garantidas. Com 96 lados, Arquimedes provou que π está entre 3 + 10/71 e 3 + 1/7.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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História da matemática
Arquimedes e os 96 lados
Em Medida do círculo, Arquimedes partiu do hexágono e dobrou os lados até 96, obtendo 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7. Não é uma aproximação por medição, mas um cerco demonstrado: a estratégia que o cálculo integral generalizaria.
Como usar: aplicação resolvida
Refaça o cerco de Arquimedes: com n lados, entre que valores π fica garantido?
Modelo: n · sen(π/n) < π < n · tg(π/n) (perímetros inscrito e circunscrito divididos pelo diâmetro).
- Inscrito: 96 · sen(π/96) ≈ 3,141032.
- Circunscrito: 96 · tg(π/96) ≈ 3,142715.
- Largura do cerco: ≈ 0,00168265.
Resultado: 3,141031 < π < 3,142715.
Leitura crítica: Com n = 96, Arquimedes obteve, com frações, 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 — cotas um pouco mais largas porque ele arredondava raízes para garantir as desigualdades.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- HEATH, T. L. (ed.). The works of Archimedes. Cambridge: Cambridge University Press, 1897.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.