Pontos notáveis: equilíbrio, equidistância e a reta de Euler

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física

  O ponto de equilíbrio

  Uma placa triangular homogênea equilibra-se apoiada num único ponto: o baricentro, onde se cruzam as medianas. Em física, esse é o centro de massa da placa.

  Fonte: [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma placa triangular homogênea tem vértices em (0; 0), (60; 0) e (20; 45), em cm. Onde apoiá-la num único ponto?

  Modelo: Baricentro G = média das coordenadas dos vértices (encontro das medianas).

  Dados — altere para recalcular

  Vértice C: x (cm) Vértice C: y (cm) Base AB (A na origem) (cm) Restaurar os dados

  1. A = (0; 0), B = (60; 0), C = (20; 45).
  2. G = ((0 + 60 + 20) ÷ 3; (0 + 0 + 45) ÷ 3) ≈ (26,67; 15).

  Resultado: Ponto de apoio: G ≈ (26,67; 15) cm.

  Leitura crítica: G fica a 1/3 da altura, contado a partir da base. O resultado supõe placa de espessura e densidade uniformes.

• Planejamento

  Equidistante de três lugares

  Para instalar um serviço à mesma distância de três localidades, procura-se o ponto equidistante dos três vértices: o circuncentro. Se o triângulo for obtusângulo, esse ponto fica fora da região — uma informação relevante para a decisão.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Três comunidades ficam em (0; 0), (8; 0) e (2; 6), em km. Onde instalar um posto à mesma distância das três, e qual é essa distância?

  Modelo: Circuncentro O: encontro das mediatrizes; R = distância de O a qualquer vértice.

  Dados — altere para recalcular

  Comunidade B: x (km) Comunidade C: x (km) Comunidade C: y (km) Restaurar os dados

  1. Mediatriz de AB: x = 8 ÷ 2 = 4.
  2. Resolvendo com a mediatriz de AC: O = (4; 2).
  3. R = OA ≈ 4,47 km (confira: OB ≈ 4,47, OC ≈ 4,47).

  Resultado: Posto em O = (4; 2), a ≈ 4,47 km de cada comunidade.

  Leitura crítica: Distância em linha reta; estradas, rios e relevo podem mudar a decisão.

• História da matemática

  A reta de Euler

  O alinhamento de circuncentro, baricentro e ortocentro, com o baricentro dividindo o segmento na razão 1 : 2, é atribuído a Euler. É um exemplo de propriedade invisível numa figura isolada e evidente quando a figura se move.

  Fonte: [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Para o triângulo A(0; 0), B(10; 0), C(3; 7), calcule O, G e H e confira que estão alinhados com GH = 2 · OG.

  Modelo: G = média dos vértices; O = circuncentro; H = A + B + C − 2O (relação vetorial de Euler).

  Dados — altere para recalcular

  Vértice C: x Vértice C: y Restaurar os dados

  1. O = (5; 2); G ≈ (4,33; 2,33); H = (3; 3).
  2. OG ≈ 0,745; GH ≈ 1,491; GH ÷ OG ≈ 2.
  3. Alinhamento (produto vetorial OG × OH) = 0.

  Resultado: O, G e H estão alinhados, com GH = 2 · OG.

  Leitura crítica: A verificação numérica confirma casos; a demonstração geral está na relação H = A + B + C − 2O, válida para todo triângulo.