Subir e descer a mesma porcentagem: volta ao início?

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Educação financeira (modelo hipotético)

  Preço que sobe antes da promoção

  Se uma loja aumenta um preço em p% e depois anuncia p% de desconto, o preço final fica abaixo do original — mas o "desconto" anunciado não devolve ao consumidor o preço antigo menos p%. A aplicação calcula as duas etapas, o preço final, a perda e quanto custaria um desconto de p% sobre o preço original, para comparar.

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): uma loja aumenta em 25% o preço de um fone de R$ 200 e, semanas depois, anuncia "25% de desconto". Qual é o preço final? Quanto custaria um desconto de 25% sobre o preço original?

  Modelo: Etapa 1: preço + p% do preço. Etapa 2: desconto de p% sobre o preço aumentado (nova base). Final = (100 − p × p ÷ 100)% do original.

  Dados — altere para recalcular

  Preço original (R$) Porcentagem p (%) Restaurar os dados

  1. Aumento: 25% de 200 = 50; preço = 250.
  2. Desconto sobre o novo preço: 25% de 250 = 62,5; final = 187,5.
  3. Final em porcentagem do original: 100 − 25 × 25 ÷ 100 = 93,75%; perda de 12,5 reais.
  4. Desconto de 25% sobre o preço original: = 150 reais.

  Resultado: No modelo: preço final R$ 187,5 (93,75% do original), contra R$ 150 se o desconto fosse sobre o preço original.

  Leitura crítica: Modelo hipotético. O preço final fica abaixo do original, mas bem acima do que seria um desconto real de p% sobre o preço antigo: quem compra precisa comparar com o preço de antes do aumento. É um primeiro contato com variações em sequência; o estudo sistemático é do 9º ano.

• Estatística (dados simulados)

  Visitantes que caem e voltam a subir

  Se o número de visitantes de um parque cai p% num mês e sobe p% no mês seguinte, ele não volta ao valor inicial: a subida é calculada sobre um número menor. A aplicação calcula os dois meses, o número final, a perda e qual subida seria necessária para voltar exatamente ao início.

  Como usar: aplicação resolvida

  DADOS SIMULADOS: um parque recebeu 12 000 visitantes num mês; no mês seguinte, o número caiu 20% e, no outro, subiu 20%. Voltou a 12 000? Que subida seria necessária para voltar exatamente?

  Modelo: Queda: visitantes − p% deles. Subida: p% sobre o número já reduzido. Final = (100 − p × p ÷ 100)% do inicial. Para voltar do valor reduzido ((100 − p)% do inicial) ao inicial, falta p% do inicial, que é p ÷ (100 − p) do valor reduzido.

  Dados — altere para recalcular

  Visitantes no 1º mês Porcentagem p (%) Restaurar os dados

  1. Queda de 20%: 20% de 12000 = 2400; ficam = 9600.
  2. Subida de 20% sobre 9600: = 1920; final = 11520.
  3. Final = 96% do inicial; faltam 480 visitantes (20% de 20% = 4%).
  4. Para voltar: falta 20% do inicial, sobre uma base de 80% do inicial: 20 ÷ 80 × 100 = 25% de subida.

  Resultado: Nos dados simulados: não voltou — 11520 visitantes; para voltar a 12000, a subida precisaria ser de 25%.

  Leitura crítica: Dados simulados. Números de visitantes são inteiros; quando a conta dá decimais, o número real foi arredondado. A ordem não importa: subir primeiro e cair depois leva ao mesmo final. Recuperar uma queda exige uma subida percentual maior que a queda.