Retas no espaço: paralelas, concorrentes e reversas

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Engenharia viária

  Viadutos: retas reversas no cotidiano

  Duas vias que se cruzam em níveis diferentes, uma sobre o viaduto e outra embaixo, seguem direções que não são paralelas e não se encontram: é a imagem concreta de retas reversas.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma pista passa sob um viaduto. A pista de baixo segue a direção leste; a de cima cruza com ângulo φ, a 5,5 m de altura no ponto de cruzamento, e sobe 4% no sentido em que avança. Qual a menor distância entre os eixos das duas pistas?

  Modelo: Retas reversas r: P + t·u e s: Q + t·v; distância = |(Q − P) · (u × v)| / |u × v|.

  Dados — altere para recalcular

  Altura no cruzamento (m) Ângulo entre as pistas φ (°) Rampa da pista de cima (%) Restaurar os dados

  1. u tem coordenadas 1, 0 e 0; v = (cos φ, sen φ, i/100) tem coordenadas ≈ 0,5, ≈ 0,866 e ≈ 0,04; Q − P tem coordenadas 0, 0 e 5,5.
  2. u × v tem coordenadas 0, ≈ −0,04 e ≈ 0,866; |u × v| ≈ 0,8669.
  3. d = |(Q − P) · (u × v)| / |u × v| = h · |sen φ| / |u × v|, com h = 5,5: d ≈ 5,494 m.

  Resultado: Menor distância entre os eixos ≈ 5,49 m.

  Leitura crítica: Com a pista de cima inclinada, a menor distância não fica exatamente no ponto de cruzamento e é um pouco menor que a altura ali. O gabarito real também desconta a espessura da estrutura.

• Construção civil

  O prumo com duas posições do esquadro

  Uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano é perpendicular ao plano. Por isso o pilar é conferido com o esquadro em duas posições: com uma só, restaria uma inclinação para fora do plano do esquadro (atividade 16.4).

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um pilar de 3 m foi conferido com o esquadro em duas direções perpendiculares, com desvios de 0,5° e 0,8°. Quanto o topo está deslocado da vertical?

  Modelo: Deslocamentos em cada direção: H · tg δ; deslocamento total = √(dx² + dy²) (duas direções concorrentes determinam a inclinação).

  Dados — altere para recalcular

  Altura do pilar H (m) Desvio na direção 1 (°) Desvio na direção 2 (°) Restaurar os dados

  1. dx = 3 · tg 0,5° ≈ 2,62 cm.
  2. dy = 3 · tg 0,8° ≈ 4,19 cm.
  3. Total: √(≈ 2,62² + ≈ 4,19²) ≈ 4,94 cm.

  Resultado: O topo está ≈ 4,9 cm fora do prumo.

  Leitura crítica: Com uma só posição do esquadro, o desvio na outra direção passaria despercebido — exatamente o que corrige a atividade 16.4.

• Educação matemática

  Saber × ver

  Parzysz analisou o conflito entre o que se sabe sobre a figura espacial e o que se vê no seu desenho plano: no papel, retas reversas parecem se cortar. Manipular a figura em três dimensões ajuda a separar a propriedade da aparência.

  Fonte: [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Num desenho em perspectiva cavaleira (fuga a 45°, redução 1/2), um cubo de aresta 4 cm tem a diagonal da face de cima desenhada. Quanto ela mede no papel, e quanto mede de verdade?

  Modelo: Real: a√2. No papel, a aresta que foge vira (k·a·cos 45°; k·a·sen 45°); a diagonal liga (0; 0) a (a + k·a·cos 45°; k·a·sen 45°).

  Dados — altere para recalcular

  Aresta a (cm) Redução k Ângulo de fuga (°) Restaurar os dados

  1. Real: 4 · √2 ≈ 5,657 cm.
  2. No papel: √(≈ 5,414² + ≈ 1,414²) ≈ 5,596 cm.
  3. O ângulo reto entre as arestas da face aparece no papel com 45°.

  Resultado: Desenho: ≈ 5,6 cm; real: ≈ 5,66 cm.

  Leitura crítica: Medir no desenho engana: comprimentos e ângulos (aqui, 45° no lugar de 90°) não são preservados. É o conflito entre saber e ver descrito por Parzysz.