Prismas e o Princípio de Cavalieri

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física e cotidiano

  A pilha de folhas

  Uma resma de papel empurrada de lado vira um prisma oblíquo: cada folha continua igual e na mesma altura, então o volume de papel não muda. É a intuição do Princípio de Cavalieri, formulado por Bonaventura Cavalieri no século XVII.

  Fonte: [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma resma de 500 folhas A4 (21 cm × 29,7 cm, 0,1 mm cada) é empurrada até que o topo se desloque 3 cm. Qual o volume de papel antes e depois, e qual o comprimento da aresta inclinada?

  Modelo: Cavalieri: mesmas secções à mesma altura ⇒ mesmo volume = área da base × altura; aresta lateral = √(h² + s²).

  Dados — altere para recalcular

  Número de folhas Espessura da folha (mm) Deslocamento do topo s (cm) Restaurar os dados

  1. Altura: 500 × 0,1 mm = 50 mm = 5 cm.
  2. Volume: 21 × 29,7 × 5 = 3118,5 cm³ (≈ 3,12 L), antes e depois.
  3. Aresta inclinada: √(5² + 3²) ≈ 5,83 cm.

  Resultado: Volume de ≈ 3118 cm³ nos dois casos.

  Leitura crítica: Cada folha continua igual e na mesma altura: é a intuição do Princípio de Cavalieri. O que muda é a forma das faces laterais.

• Arquitetura

  Fachadas inclinadas, mesmo volume

  Um edifício inclinado, com pavimentos iguais e fachadas em paralelogramo, tem o mesmo volume construído do edifício reto; o que muda é a área das fachadas, que determina custos de revestimento e ganhos de calor.

  Fonte: [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um edifício inclinado de 10 andares de 3 m tem pavimentos de 20 m × 30 m. A estrutura avança continuamente 0,5 m por andar na direção dos 30 m, de modo que as duas fachadas de 20 m são paralelogramos planos, sem degraus. Qual o volume construído e quanto aumenta a área dessas fachadas?

  Modelo: Volume = área do pavimento × altura (Cavalieri). Cada fachada inclinada é um paralelogramo de base 20 m cujo lado inclinado mede √(3² + 0,5²) por andar. (Em andares escalonados, com degraus, a conta seria outra.)

  Dados — altere para recalcular

  Andares Altura do andar (m) Deslocamento por andar (m) Restaurar os dados

  1. Volume: 20 × 30 × 10 × 3 = 18.000 m³ (igual ao do prédio reto).
  2. Fachada de 20 m, reta: 20 × 30 = 600 m².
  3. Inclinada: 20 × √(3² + 0,5²) × 10 ≈ 608,3 m² (+≈ 1,38%).

  Resultado: 18.000 m³; cada fachada inclinada cresce ≈ 1,38%.

  Leitura crítica: O volume (e o espaço útil) não muda; o revestimento das duas fachadas inclinadas fica maior e a sombra projetada muda.