MatLabG · Experiência
Razão constante ou produto constante? Afirmações e contraexemplos
Multiplicar x por 2, por 3 ou por 0,5 e observar por quanto y fica multiplicado — de qualquer ponto de partida. E nove afirmações para derrubar com contraexemplos verdadeiros ou justificar pela definição.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Crescer junto basta para a proporcionalidade direta? “Um sobe, o outro desce” basta para a inversa? O que, de fato, caracteriza cada uma?
Execução restrita
Escolha uma relação — torneira V = 3t, percurso t = 240/v, táxi 5 + 2d, tanque 120 − 3t, frete por faixas ou área ℓ² — e um ponto de partida P. Multiplique x por 2, 3 ou 0,5 e obtenha Q. Antes de pedir as contas, preveja: por quanto y fica multiplicado? Esse fator é o mesmo de qualquer ponto de partida? O gráfico do fator para todos os pontos de partida mostra a diferença entre as relações — inclusive uma em que o fator é fixo e, mesmo assim, não há proporcionalidade. Na investigação guiada, julgue nove afirmações: as falsas caem com um contraexemplo que satisfaz toda a hipótese; as verdadeiras se justificam pela definição, não pelos exemplos.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Economia doméstica (modelo hipotético)
Plano com parte fixa: dobrar o uso não dobra a conta
Num plano com valor fixo mensal mais um preço por minuto, a conta cresce com os minutos, mas não é proporcional a eles: dobrar os minutos não dobra a conta, e o preço médio por minuto cai. A aplicação calcula a conta para m e para 2m minutos, o fator e o preço médio por minuto.
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): um plano de telefone custa R$ 30 por mês mais R$ 0,50 por minuto. Quem dobra os minutos usados dobra a conta?
Modelo: Conta C(m) = F + p·m. É diretamente proporcional aos minutos só se F = 0. Fator ao dobrar: C(2m) ÷ C(m); preço médio por minuto: C(m) ÷ m.
- C(100) = 30 + 0,5 · 100 = 80 reais.
- C(200) = 30 + 0,5 · 200 = 130 reais.
- Fator: 130 ÷ 80 = 1,625 — menor que 2: a parte fixa não dobra.
- Preço médio por minuto: 80 ÷ 100 = 0,8 e 130 ÷ 200 = 0,65 reais (o quociente muda).
Resultado: No modelo, dobrar os minutos leva a conta de R$ 80 a R$ 130: fator 1,625, não 2.
Leitura crítica: Modelo hipotético. A conta cresce junto com os minutos, mas não é proporcional a eles: só a parte p·m é. É o mesmo caso do táxi com bandeirada no tema — crescer junto não basta para a proporcionalidade direta.
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Artes visuais e arquitetura
Ampliar uma foto: o perímetro fica × c, a área fica × c²
Ao ampliar uma foto retangular multiplicando os lados por c, o perímetro fica multiplicado por c (proporcional ao lado) e a área por c² — um fator fixo que não é c. A aplicação calcula as medidas da ampliação e os dois fatores.
Como usar: aplicação resolvida
Uma foto de 10 cm × 15 cm é ampliada com os lados multiplicados por 2. Por quanto ficam multiplicados o perímetro e a área?
Modelo: Lados × c ⇒ perímetro 2(cL + cH) = c·2(L + H) (× c) e área (cL)(cH) = c²·LH (× c²). O perímetro é proporcional ao lado; a área não: o fator dela é fixo, mas é c².
- Original: perímetro 2·(10 + 15) = 50 cm; área 10 · 15 = 150 cm².
- Ampliada: lados 20 cm e 30 cm; perímetro = 100 cm; área = 600 cm².
- Fatores: perímetro 100 ÷ 50 = 2 (= c); área 600 ÷ 150 = 4 (= c² = 2²).
Resultado: O perímetro fica × 2; a área fica × 4.
Leitura crítica: Relação exata. O fator da área é sempre o mesmo para qualquer foto (c²), mas não é c: um fator fixo não basta para a proporcionalidade direta — na direta, multiplicar uma grandeza por c multiplica a outra pelo próprio c.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.