MatLabG · Experiência
Razões trigonométricas: medir alturas e inclinações
O que não muda quando o triângulo cresce.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
As razões entre os lados dependem só do ângulo, e não do tamanho? Por quê — e isso continua valendo quando o ângulo em P não é reto?
Execução restrita
Arraste os vértices de dois triângulos e meça os lados: o ângulo é medido, não digitado. Descubra quando as razões coincidem, por que dobrar o ângulo não dobra o seno e o que acontece quando o triângulo deixa de ser retângulo. Use isso para medir a altura de uma árvore com um clinômetro e para conferir a inclinação de uma rampa.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Topografia e ciências da natureza
Clinômetro: a altura sem subir
Mede-se a distância horizontal d até a base e o ângulo de elevação θ até o topo. A altura é d · tg θ somada à altura dos olhos. O método vale para árvores, prédios e encostas e é usado em inventários florestais.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Com um clinômetro a 1,5 m do chão, você vê o topo de uma árvore sob 32°, estando a 12 m do tronco. Qual a altura da árvore?
Modelo: tg θ = cateto oposto / cateto adjacente ⇒ H = d · tg θ + altura dos olhos.
- tg 32° ≈ 0,6249.
- d · tg θ = 12 · tg 32° ≈ 7,5 m.
- H = d · tg θ + altura dos olhos ≈ 9 m (olhos a 1,5 m).
Resultado: Altura ≈ 9 m.
Leitura crítica: Sensibilidade: com 1° a mais no ângulo, H ≈ 9,3 m (≈ 0,3 m de diferença). Ângulos próximos de 45° dão medidas mais confiáveis.
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Acessibilidade
Inclinação de rampas
A norma brasileira expressa a inclinação das rampas em porcentagem: é a tangente do ângulo multiplicada por 100. O limite geral de 8,33% corresponde a θ ≈ 4,8°.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Uma rampa com inclinação de 8,33% tem 6 m de projeção horizontal. Qual o desnível vencido e o ângulo com o piso?
Modelo: i = tg θ; desnível = comprimento horizontal × i.
- Desnível: 6 × 8,33 ÷ 100 ≈ 0,5 m.
- θ = arctg(8,33 ÷ 100) ≈ 4,76°.
Resultado: Vence ≈ 0,5 m de desnível, com θ ≈ 4,76°.
Leitura crítica: Porcentagem de inclinação não é proporcional ao ângulo: 100% corresponde a 45°, não a 90°.
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História da matemática
Das tábuas de cordas ao seno
A trigonometria nasceu na astronomia: astrônomos gregos tabelaram cordas de circunferência, e matemáticos da Índia e do mundo islâmico desenvolveram o seno e as demais razões como as usamos hoje.
Fonte: [3]
Como usar: aplicação resolvida
Ptolomeu tabelou cordas numa circunferência de raio 60. Qual a corda de um arco de 60°? E de um arco qualquer?
Modelo: corda(θ) = 2R · sen(θ/2): a tábua de cordas é, em essência, uma tábua de senos.
- sen(θ/2) = sen 30° ≈ 0,5.
- corda = 2 × 60 × sen 30° ≈ 60.
Resultado: Corda de 60° ≈ 60.
Leitura crítica: O raio 60 facilitava as contas no sistema sexagesimal. O seno moderno é a meia corda do arco duplo, dividida pelo raio.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. Rio de Janeiro: ABNT, 2020.
- MAOR, E. Trigonometric delights. Princeton: Princeton University Press, 1998.