Secções do cubo: do triângulo ao hexágono

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Ciência dos materiais

  Planos cristalográficos

  Em cristais de estrutura cúbica, famílias de planos paralelos são descritas por índices de Miller. O plano perpendicular à diagonal do cubo, que dá o hexágono regular desta experiência, é o da família (111), importante no estudo do empilhamento de átomos.

  Fonte: [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  O cobre tem estrutura cúbica de parâmetro de rede a ≈ 0,3615 nm. Qual a distância entre planos vizinhos da família (111)?

  Modelo: Para rede cúbica: d(hkl) = a / √(h² + k² + l²).

  Dados — altere para recalcular

  Parâmetro de rede a (nm) h k l Restaurar os dados

  1. √(1² + 1² + 1²) = √3 ≈ 1,7321.
  2. d = a / √3 = 0,3615 / √3 ≈ 0,2087 nm.

  Resultado: Distância entre planos (111): ≈ 0,2087 nm.

  Leitura crítica: Os planos (111) são os perpendiculares à diagonal do cubo: os mesmos que, no meio da diagonal, cortam o cubo num hexágono regular.

• Saúde

  Tomografia: o sólido em fatias

  Tomografias produzem imagens de secções sucessivas do corpo. Reconstruir mentalmente o órgão a partir das fatias é o problema inverso desta experiência: aqui, conhecemos o sólido e observamos as secções.

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma tomografia de um órgão de 12 cm de comprimento é feita em cortes de 0,5 mm. Quantos cortes são necessários? Se a área média das secções é 30 cm², qual o volume estimado?

  Modelo: Número de cortes = L/e; volume ≈ Σ (área da secção × espessura) (Cavalieri, soma de fatias).

  Dados — altere para recalcular

  Comprimento (cm) Espessura do corte (mm) Área média das secções (cm²) Restaurar os dados

  1. Razão: L/e = 120 mm / 0,5 mm = 240.
  2. Como L/e é inteiro, 240 cortes de 0,5 mm cobrem exatamente o comprimento.
  3. Volume ≈ (área média) × (soma das espessuras) = 30 cm² × 12 cm = 360 cm³.

  Resultado: 240 cortes; volume ≈ 360 cm³ (0,36 L).

  Leitura crítica: Na prática, cada corte tem sua própria área (medida na imagem); usar a média é uma simplificação. É a mesma ideia de somar fatias que leva à integral.