MatLabG · Experiência
Triângulos: 180°, rigidez e estruturas
Por que as treliças são feitas de triângulos.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Que ternos de lados e que pares de ângulos fecham um triângulo? A soma 180° é obrigatória, e três ângulos bastam para determinar o triângulo como três lados bastam?
Execução restrita
Monte triângulos de três jeitos: arrastando os vértices, com três varetas ou com dois ângulos sobre uma base. Descubra quando as varetas não fecham, por que dois ângulos obtusos nunca se encontram e por que três lados determinam o triângulo e três ângulos não — a rigidez das treliças.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Engenharia de estruturas
Treliças
Três barras articuladas de comprimentos dados só formam um triângulo: a forma não pode mudar sem mudar um lado. Por isso as treliças de pontes e telhados são compostas de triângulos, enquanto um quadrilátero articulado precisa de uma diagonal (mão-francesa) para não se deformar.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Uma célula triangular de treliça tem barras de 3 m, 4 m e 5 m. Quais os ângulos da célula? E quantas barras uma treliça plana simples com j nós precisa?
Modelo: Lei dos cossenos: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc); treliça simples: m = 2j − 3 barras.
- Â = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)) ≈ 36,87°.
- B̂ ≈ 53,13°; Ĉ = 180° − Â − B̂ = 90°.
- Barras para 6 nós: m = 2·6 − 3 = 9.
Resultado: Ângulos ≈ 36,9°, ≈ 53,1° e 90°; 9 barras.
Leitura crítica: Os três comprimentos determinam os ângulos: é a rigidez do triângulo. A fórmula m = 2j − 3 vale para treliças planas simples, formadas acrescentando triângulos.
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Geometria da Terra
Quando a soma passa de 180°
Num triângulo desenhado sobre uma esfera, com lados em circunferências máximas, a soma dos ângulos é maior que 180°, e o excesso cresce com a área. Em pequenas regiões a diferença é imperceptível: por isso a geometria plana funciona na topografia de um terreno.
Fonte: [3]
Como usar: aplicação resolvida
Um triângulo desenhado sobre a superfície da Terra, com lados em circunferências máximas, cobre 1 000 000 km². Quanto a soma dos seus ângulos passa de 180°?
Modelo: Teorema de Girard: soma dos ângulos = 180° + E, com o excesso E = área / R² (em radianos).
- E = A ÷ R² = 1.000.000 ÷ 6.371² ≈ 0,02464 rad.
- Em graus: E × 180/π ≈ 1,412°.
Resultado: Soma dos ângulos ≈ 181,412°.
Leitura crítica: Para um terreno de 1 km², o excesso é da ordem de milionésimos de grau: por isso a geometria plana serve à topografia local.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.