MatLabG · Experiência
Explodir a figura: ângulos que somam e pisos que pavimentam
Da soma dos ângulos aos favos de mel.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Quanto somam os ângulos internos de um polígono de n lados, e quais polígonos regulares cobrem o plano sem sobras nem sobreposições?
Execução restrita
Separe os lados e leve os ângulos de um polígono até um mesmo vértice: triângulo dá meia volta, quadrilátero dá uma volta, o pentágono passa de uma volta. A mesma conta explica quais polígonos regulares pavimentam o plano e por que as abelhas usam hexágonos.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Arquitetura e design
Pisos e revestimentos
Um piso de peças regulares iguais só fecha sem frestas se o ângulo interno couber um número inteiro de vezes em 360°. Isso acontece com o triângulo (6 × 60°), o quadrado (4 × 90°) e o hexágono (3 × 120°), e com nenhum outro polígono regular.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um piso de 12 m² será coberto por peças hexagonais regulares de 10 cm de lado. Quantas peças são necessárias (sem perdas)?
Modelo: Área do polígono regular: n · s² / (4 · tg(π/n)); pavimenta se 360° ÷ ângulo interno for inteiro.
- Ângulo interno: (6 − 2) · 180° ÷ 6 = 120°; 360° ÷ ângulo interno = 2·6 ÷ (6 − 2) = 3 peças por vértice.
- Área de uma peça: 6 · 10² ÷ (4 · tg(180°/6)) ≈ 259,81 cm².
- Peças: 12 m² = 120.000 cm²; 120.000 ÷ área da peça ≈ 461,9, arredondado para cima: 462.
Resultado: Cerca de 462 peças.
Leitura crítica: Na prática, acrescenta-se uma margem de perda (recortes nas bordas), em geral de 5% a 10%.
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Biologia
Os favos de mel
Dentre as maneiras de dividir o plano em regiões de mesma área, a malha hexagonal é a de menor perímetro total. A afirmação, conhecida como conjectura do favo de mel, só foi demonstrada em 2001, por Thomas Hales. Menos parede para a mesma área de célula ajuda a entender a forma dos favos.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Células de mesma área A, em malha triangular, quadrada ou hexagonal: quanta parede cada uma gasta?
Modelo: Perímetro do n-ágono regular de área A: P = 2√(n · A · tg(π/n)); cada parede é compartilhada por duas células ⇒ parede por célula = P/2.
- Triângulos: P/2 ≈ 11,398 mm por célula.
- Quadrados: P/2 = 10 mm.
- Hexágonos: P/2 ≈ 9,306 mm.
Resultado: O hexágono economiza cerca de 6,9% de parede em relação ao quadrado e 18,4% em relação ao triângulo.
Leitura crítica: Hales (2001) demonstrou que nenhuma divisão do plano em regiões de mesma área gasta menos perímetro que a hexagonal — não apenas entre os polígonos regulares.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- HALES, T. C. The honeycomb conjecture. Discrete & Computational Geometry, New York, v. 25, n. 1, p. 1-22, 2001.