MatLabG · Experiência
Pitágoras: áreas, obras e telas
Do tablete babilônio ao esquadro do pedreiro.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Em que triângulos vale a² = b² + c²? Se o ângulo em A não for reto, o que a diferença a² − (b² + c²) revela — e a recíproca vale?
Execução restrita
Arraste A para dentro e para fora da circunferência de diâmetro BC e compare a² com b² + c². A igualdade só aparece com o ângulo reto; fora dele, a diferença tem sinal e tamanho que contam o quanto  se afasta de 90°. Relacione com o esquadro 3-4-5 das obras, com a diagonal das telas e com o tablete Plimpton 322.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Construção civil
O esquadro 3-4-5
Para marcar um canto reto no terreno, marca-se 3 unidades num lado, 4 no outro e ajusta-se até a diagonal medir 5. A recíproca do Teorema de Pitágoras garante o ângulo reto: 3² + 4² = 5².
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Uma sala retangular deve ter 4 m por 3,5 m com cantos retos. Quanto deve medir a diagonal para conferir o esquadro?
Modelo: Recíproca de Pitágoras: o canto é reto se, e só se, d² = a² + b².
- d² = 4² + 3,5² = 28,25.
- d = √(4² + 3,5²) ≈ 5,315 m.
Resultado: A diagonal deve medir ≈ 5,315 m (≈ 531,5 cm).
Leitura crítica: Na obra, confere-se também a outra diagonal: diagonais iguais indicam retângulo. O método 3-4-5 é o caso a = 3, b = 4.
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História da matemática
Plimpton 322
Um tablete de argila babilônico com cerca de 3 800 anos, conhecido como Plimpton 322, registra números ligados a ternos pitagóricos. Estudos recentes discutem para que servia a tabela, mostrando que a relação entre lados do triângulo retângulo era conhecida muito antes dos gregos.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Como gerar ternos pitagóricos inteiros, como os que aparecem ligados ao tablete Plimpton 322?
Modelo: Para inteiros p > q > 0: a = p² − q², b = 2pq, c = p² + q² satisfazem a² + b² = c².
- a = 2² − 1² = 3; b = 2·2·1 = 4; c = 2² + 1² = 5.
- Conferência: 3² + 4² = 25 = 5².
Resultado: Terno (3, 4, 5).
Leitura crítica: A regra dá todos os ternos primitivos quando p e q são primos entre si e de paridades diferentes. Não se sabe ao certo que método os escribas babilônicos usaram: a interpretação do tablete é debatida.
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Tecnologia
A diagonal das telas
Telas são vendidas pela diagonal. Numa tela 16 : 9 de 55 polegadas, a largura é 55 · 16 ÷ √(16² + 9²) ≈ 47,9 polegadas: Pitágoras converte a medida de venda nas dimensões reais.
Como usar: aplicação resolvida
Uma TV 16 : 9 tem 55 polegadas de diagonal. Quais sua largura e altura, em centímetros?
Modelo: Largura = D · 16/√(16² + 9²); altura = D · 9/√(16² + 9²); 1 polegada = 2,54 cm.
- √(16² + 9²) = √337 ≈ 18,3576.
- Largura: 55 × 16 ÷ √337 ≈ 47,94 pol, isto é, ≈ 121,8 cm.
- Altura: 55 × 9 ÷ √337 ≈ 26,96 pol, isto é, ≈ 68,5 cm.
Resultado: Tela de ≈ 121,8 cm × ≈ 68,5 cm.
Leitura crítica: As medidas são da área útil; a moldura acrescenta alguns centímetros.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- ROBSON, E. Words and pictures: new light on Plimpton 322. The American Mathematical Monthly, Washington, v. 109, n. 2, p. 105-120, 2002.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.