MatLabG · Experiência
Tales, semelhança e medidas inacessíveis
Sombras, mapas e fotografias: a mesma proporção.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Quando DE é paralelo a BC? Razões iguais garantem o paralelismo (recíproca)? E o que as razões permitem medir sem medir diretamente?
Execução restrita
Mova D em AB e E em AC de forma independente: DE só fica paralelo a BC numa posição, e só então as razões de Tales se igualam. Teste a recíproca, refute a troca "DE ÷ BC = AD ÷ DB" e descubra o que continua valendo sem paralelismo. A mesma proporcionalidade sustenta escalas de mapas e a medida de alturas por sombras.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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História crítica
Tales e a pirâmide: fato ou lenda?
É comum ler que Tales mediu a altura de uma pirâmide pela sombra. As fontes desse relato foram escritas séculos depois e divergem entre si; a historiografia recente trata com cautela as atribuições a Tales. O método por sombras, porém, é válido e pode ser testado no pátio da escola.
Como usar: aplicação resolvida
Um bastão vertical de 1,5 m projeta sombra de 2 m. No mesmo instante, a sombra de um poste mede 6 m. Qual a altura do poste?
Modelo: Raios de Sol paralelos ⇒ triângulos semelhantes: H/S = h/s.
- Razão de semelhança: S ÷ s = 6 ÷ 2 = 3.
- H = h · S ÷ s = 1,5 × 6 ÷ 2 = 4,5 m.
Resultado: Altura do poste 4,5 m.
Leitura crítica: Meça as duas sombras no mesmo instante e em solo plano. Um erro de 10 cm na sombra do bastão muda o resultado em cerca de 5%.
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Cartografia
Escala
Um mapa em escala 1 : 50 000 é uma figura semelhante à região representada, com razão de semelhança 1/50 000 para comprimentos. As áreas, porém, ficam divididas por 50 000²: a semelhança age de modo diferente sobre comprimento e área.
Fonte: [4]
Como usar: aplicação resolvida
Num mapa em escala 1 : 50 000, uma trilha mede 4 cm e um lago ocupa 12 cm². Quais as medidas reais?
Modelo: Comprimentos × E; áreas × E².
- Comprimento real: 4 × 50.000 = 200.000 cm, isto é, 2 km.
- Área real: 12 × 50.000² cm² = 3 km² (1 km² = 10¹⁰ cm²).
Resultado: Trilha de 2 km; lago de 3 km².
Leitura crítica: Multiplicar a área só por E é o erro mais comum: a área cresce com o quadrado da razão de semelhança.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
- LIMA, E. L. Medida e forma em geometria: comprimento, área, volume e semelhança. Rio de Janeiro: SBM, 1991.