O paralelogramo escondido em todo quadrilátero

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física (Estática)

  Varignon, duas vezes

  Pierre Varignon (1654–1722) também dá nome ao princípio dos momentos da Estática: o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos de suas componentes. Os dois resultados, o geométrico e o mecânico, vêm do mesmo esforço de tratar a geometria de modo sistemático.

  Fonte: [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma força de 100 N, inclinada 30° com a horizontal, age no ponto (2; 0,5) m. Qual o seu momento em relação à origem? Confira pelo princípio de Varignon (soma dos momentos das componentes).

  Modelo: M = x · Fy − y · Fx (componentes); também M = |r| · |F| · sen φ.

  Dados — altere para recalcular

  Força F (N) Ângulo da força (°) Ponto de aplicação: x (m) Ponto de aplicação: y (m) Restaurar os dados

  1. Componentes: Fx = 100 · cos 30° ≈ 86,6 N; Fy = 100 · sen 30° ≈ 50 N.
  2. Varignon: M = x·Fy − y·Fx = 2 · Fy − 0,5 · Fx ≈ 56,7 N·m.
  3. Direto: |r| · |F| · sen φ ≈ 56,7 N·m, com |r| ≈ 2,062 m e φ ≈ 15,96°.

  Resultado: Momento ≈ 56,7 N·m (anti-horário).

  Leitura crítica: Os dois caminhos coincidem: decompor a força não altera o momento. É o mesmo espírito do teorema geométrico: estruturas que se preservam quando decompomos a figura.

• Mecanismos

  Paralelogramos que se movem

  Pantógrafos e luminárias articuladas usam paralelogramos cujos lados opostos permanecem paralelos enquanto o mecanismo se move (atividade 10.10). A experiência mostra outro paralelogramo robusto: o dos pontos médios, que pode ser degenerado quando as diagonais são paralelas.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Numa luminária de paralelogramo articulado, o braço mede 40 cm. Ao girar de 20° para 60° acima da horizontal, quanto a cabeça sobe, e o que acontece com sua inclinação?

  Modelo: Altura = L · sen θ; no paralelogramo, o lado oposto à base fica paralelo a ela.

  Dados — altere para recalcular

  Braço L (cm) Ângulo inicial (°) Ângulo final (°) Restaurar os dados

  1. Altura inicial: 40 · sen 20° ≈ 13,68 cm.
  2. Altura final: 40 · sen 60° ≈ 34,64 cm.
  3. Subida: ≈ 20,96 cm.

  Resultado: A cabeça sobe ≈ 21 cm e mantém a mesma inclinação.

  Leitura crítica: A inclinação se mantém porque os lados opostos continuam paralelos, enquanto o quadrilátero articulado permanece convexo (atividade 10.10).