Transformações: simetria na cultura e na tela

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Saberes culturais e geometria — possibilidade em análise

  Simetrias em práticas culturais: leitura, não descoberta

  Paulus Gerdes investigou como atividades de trabalho, como o entrançamento de cestos, se relacionam com o despertar do pensamento geométrico; na perspectiva de Ubiratan D'Ambrosio, trata-se de reconhecer outras formas de produzir conhecimento, e não de encontrar nelas a matemática escolar. Esta experiência modela isometrias; ela não investiga uma prática. Chamar de “translação” ou “reflexão” o padrão de um cesto é uma formalização do pesquisador: torna visível a regularidade e torna invisíveis a finalidade, os critérios e o sentido que o padrão tem para quem o faz. Uma abordagem etnomatemática exigiria partir da prática e dos sujeitos (quem produz, onde, como aprendeu, como descreve e valida o que faz) e perguntar o que essa prática nos obriga a repensar sobre aquilo que chamamos de matemática.

  Fontes: [2], [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um padrão em roseta tem simetria de rotação de ordem n e também eixos de reflexão. Quantas isometrias o deixam invariante, e de quantos graus é a menor rotação?

  Modelo: Rotações: múltiplos de 360°/n (n rotações); com reflexões: n eixos; total 2n isometrias (grupo diedral).

  Dados — altere para recalcular

  Ordem de rotação n Restaurar os dados

  1. Menor rotação: 360° ÷ 6 = 60°.
  2. Rotações (incluindo a identidade): 6.
  3. Eixos de reflexão: 6. Total: 12 isometrias.

  Resultado: 12 simetrias; menor rotação de 60°.

  Leitura crítica: Identificar essas simetrias num cesto ou tecido é uma leitura geométrica; o sentido do padrão para quem o produz é outro saber, que a análise não substitui.

• Computação gráfica

  Matrizes que movem figuras

  Em jogos e programas de desenho, mover, girar, espelhar e ampliar uma figura são operações feitas por matrizes aplicadas às coordenadas dos vértices, exatamente as transformações desta experiência.

  Fonte: [4]

  Como usar: aplicação resolvida

  Num programa de desenho, o ponto (4; 1) é girado 90° em torno da origem e depois ampliado por k = 2. Onde ele vai parar? O que acontece com a área de uma figura?

  Modelo: Rotação: (x cos θ − y sen θ; x sen θ + y cos θ); homotetia: multiplica as coordenadas por k e as áreas por k².

  Dados — altere para recalcular

  x y Rotação θ (°) Razão k Restaurar os dados

  1. Rotação de 90°: (x cos θ − y sen θ; x sen θ + y cos θ) = (−1; 4).
  2. Homotetia k = 2: (−2; 8).
  3. Áreas multiplicadas por k² = 2² = 4.

  Resultado: Ponto final (−2; 8).

  Leitura crítica: A ordem importa em geral; aqui (rotação e homotetia de mesmo centro) as duas comutam.