Volumes de sólidos de revolução

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Engenharia mecânica

  O torno e as peças de revolução

  Eixos, polias e parafusos são produzidos no torno mecânico: a peça gira e a ferramenta define o perfil. O volume de material — e, com a densidade, a massa da peça — é exatamente o volume de um sólido de revolução.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma peça de aço torneada tem um trecho cilíndrico (raio 2 cm, 5 cm de comprimento) seguido de um trecho cônico que afina até raio 1 cm em 3 cm. Qual o volume e a massa (aço ≈ 7,85 g/cm³)?

  Modelo: Cilindro πr₁²L₁; tronco de cone πL₂/3 · (r₁² + r₁r₂ + r₂²) (volumes de revolução); massa = densidade × volume.

  Dados — altere para recalcular

  Raio do cilindro r₁ (cm) Comprimento do cilindro L₁ (cm) Raio final do cone r₂ (cm) Comprimento do cone L₂ (cm) Densidade (g/cm³) Restaurar os dados

  1. Cilindro: π · 2² · 5 ≈ 62,83 cm³.
  2. Tronco de cone: π · L₂/3 · (r₁² + r₁·r₂ + r₂²), com L₂ = 3, r₁ = 2 e r₂ = 1: ≈ 21,99 cm³.
  3. Volume total: V ≈ 84,82 cm³; massa: ρ · V = 7,85 · V ≈ 665,9 g.

  Resultado: Volume ≈ 84,8 cm³; massa ≈ 666 g.

  Leitura crítica: O tronco de cone é o sólido gerado pela rotação de um trapézio: a fórmula sai da integral π ∫ r(x)² dx com r linear.

• História da matemática

  Kepler e os barris de vinho

  Em 1615, Kepler publicou um estudo sobre a medida do volume de barris de vinho, decompondo sólidos em infinitas fatias finas. O trabalho está entre os precursores do cálculo integral, décadas antes de Newton e Leibniz.

  Fonte: [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um barril tem 80 cm de altura, raio de 30 cm no bojo (meio) e 25 cm nos tampos. Modelando a lateral por um arco de parábola, qual a capacidade em litros?

  Modelo: r(x) = R − (R − r)·(2x/h)², −h/2 ≤ x ≤ h/2; V = π ∫ r(x)² dx (calculada numericamente, regra de Simpson).

  Dados — altere para recalcular

  Raio no bojo R (cm) Raio nos tampos r (cm) Altura h (cm) Restaurar os dados

  1. Perfil: r(x) = 30 − 5 · (2x/80)².
  2. V = π ∫ r(x)² dx ≈ 202.319 cm³ (Simpson com 2 000 subintervalos).
  3. Em litros: ≈ 202,3 L. Comparação: cilindro de raio R teria ≈ 226,2 L.

  Resultado: Capacidade ≈ 202,3 L.

  Leitura crítica: O valor é uma aproximação numérica de um modelo; o erro de Simpson aqui é desprezível, mas o perfil real das aduelas pode diferir da parábola. Kepler enfrentou este problema em 1615.

• Filosofia da matemática

  Torricelli e o sólido de volume finito

  Em 1641, Torricelli mostrou que o sólido obtido girando y = 1/x, de x = 1 ao infinito, tem volume finito, embora se estenda sem fim. O resultado provocou debate filosófico sobre o infinito na matemática do século XVII. Hoje ele é conhecido como trombeta de Gabriel.

  Fonte: [4]

  Como usar: aplicação resolvida

  A trombeta de Gabriel vai de x = 1 até x = b. Quanto tinta caberia dentro dela, e quanto seria preciso para pintá-la por fora?

  Modelo: Volume π ∫₁ᵇ dx/x² = π(1 − 1/b) → π; área da superfície ≥ 2π ∫₁ᵇ dx/x = 2π ln b → ∞.

  Dados — altere para recalcular

  Extremo b Restaurar os dados

  1. Volume: π · (1 − 1/b), com b = 1000: ≈ 3,138451.
  2. Área ≥ 2π · ln(b) ≈ 43,403.
  3. Quando b → ∞: volume → π ≈ 3,141593; área → ∞.

  Resultado: Volume ≈ 3,1385 (nunca passa de π); área maior que ≈ 43,4 e sem limite.

  Leitura crítica: O 'paradoxo do pintor' (encher de tinta, mas não conseguir pintar) mistura modelo matemático e tinta real, que tem espessura: uma camada de espessura fixa não caberia no interior estreito. É uma boa discussão sobre o que a matemática afirma.

• Física e engenharia

  Tanques e reservatórios

  Tanques, silos e reservatórios com paredes curvas têm capacidade calculada como volume de revolução; o mesmo raciocínio por fatias dá o volume ocupado por um líquido até certa altura.

  Fonte: [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um tanque cilíndrico horizontal tem raio 1 m e comprimento 5 m. Com o líquido a 0,5 m de altura, quantos litros ele contém?

  Modelo: Área do segmento circular: r² · arccos((r − h)/r) − (r − h)·√(2rh − h²); volume = área × comprimento.

  Dados — altere para recalcular

  Raio r (m) Comprimento L (m) Altura do líquido h (m) Restaurar os dados

  1. Segmento: A = r² · arccos((r − h)/r) − (r − h) · √(2rh − h²), com r = 1 e h ≈ 0,5: A ≈ 0,6142 m².
  2. Volume: A · L, com L = 5: ≈ 3,0709 m³, isto é, ≈ 3.071 L.
  3. Fração do tanque: ≈ 19,6%.

  Resultado: ≈ 3.071 litros.

  Leitura crítica: Metade da altura não é metade do volume em geral — aqui, 25% da altura dá cerca de 20% do volume. Por isso réguas de tanque têm escala não linear.